إدخال مسألة...
الجبر الخطي الأمثلة
[1.30.4-0.21.9][1.30.4−0.21.9]
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI2)p(λ)=محدِّد(A−λI2)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 22 هي المصفوفة المربعة 2×22×2 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[1001][1001]
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI2)p(λ)=محدِّد(A−λI2).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة AA التي تساوي [1.30.4-0.21.9][1.30.4−0.21.9].
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]-λI2)p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]−λI2)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I2I2 التي تساوي [1001][1001].
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]-λ[1001])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]−λ[1001])
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]-λ[1001])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]−λ[1001])
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ−λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1−1 في 11.
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0−λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 00 في -1−1.
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ0λ−λ⋅0−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 00 في λλ.
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0−λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 00 في -1−1.
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ00λ-λ⋅1])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ00λ−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 00 في λλ.
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ00-λ⋅1])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ00−λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ00-λ⋅1])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ00−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -1−1 في 11.
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ00−λ])
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ00−λ])
p(λ)=محدِّد([1.30.4-0.21.9]+[-λ00-λ])p(λ)=محدِّد([1.30.4−0.21.9]+[−λ00−λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[1.3-λ0.4+0-0.2+01.9-λ]p(λ)=محدِّد[1.3−λ0.4+0−0.2+01.9−λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
أضف 0.40.4 و00.
p(λ)=محدِّد[1.3-λ0.4-0.2+01.9-λ]p(λ)=محدِّد[1.3−λ0.4−0.2+01.9−λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف -0.2−0.2 و00.
p(λ)=محدِّد[1.3-λ0.4-0.21.9-λ]p(λ)=محدِّد[1.3−λ0.4−0.21.9−λ]
p(λ)=محدِّد[1.3-λ0.4-0.21.9-λ]p(λ)=محدِّد[1.3−λ0.4−0.21.9−λ]
p(λ)=محدِّد[1.3-λ0.4-0.21.9-λ]p(λ)=محدِّد[1.3−λ0.4−0.21.9−λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1.3-λ)(1.9-λ)-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.1.1
وسّع (1.3-λ)(1.9-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=1.3(1.9-λ)-λ(1.9-λ)-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=1.3⋅1.9+1.3(-λ)-λ(1.9-λ)-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=1.3⋅1.9+1.3(-λ)-λ⋅1.9-λ(-λ)-(-0.2⋅0.4)
p(λ)=1.3⋅1.9+1.3(-λ)-λ⋅1.9-λ(-λ)-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.5.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.1.2.1.1
اضرب 1.3 في 1.9.
p(λ)=2.47+1.3(-λ)-λ⋅1.9-λ(-λ)-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.2
اضرب -1 في 1.3.
p(λ)=2.47-1.3λ-λ⋅1.9-λ(-λ)-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.3
اضرب 1.9 في -1.
p(λ)=2.47-1.3λ-1.9λ-λ(-λ)-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=2.47-1.3λ-1.9λ-1⋅-1λ⋅λ-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=2.47-1.3λ-1.9λ-1⋅-1(λ⋅λ)-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=2.47-1.3λ-1.9λ-1⋅-1λ2-(-0.2⋅0.4)
p(λ)=2.47-1.3λ-1.9λ-1⋅-1λ2-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=2.47-1.3λ-1.9λ+1λ2-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=2.47-1.3λ-1.9λ+λ2-(-0.2⋅0.4)
p(λ)=2.47-1.3λ-1.9λ+λ2-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.2.2
اطرح 1.9λ من -1.3λ.
p(λ)=2.47-3.2λ+λ2-(-0.2⋅0.4)
p(λ)=2.47-3.2λ+λ2-(-0.2⋅0.4)
خطوة 1.5.2.1.3
اضرب -(-0.2⋅0.4).
خطوة 1.5.2.1.3.1
اضرب -0.2 في 0.4.
p(λ)=2.47-3.2λ+λ2--0.08
خطوة 1.5.2.1.3.2
اضرب -1 في -0.08.
p(λ)=2.47-3.2λ+λ2+0.08
p(λ)=2.47-3.2λ+λ2+0.08
p(λ)=2.47-3.2λ+λ2+0.08
خطوة 1.5.2.2
أضف 2.47 و0.08.
p(λ)=-3.2λ+λ2+2.55
خطوة 1.5.2.3
أعِد ترتيب -3.2λ وλ2.
p(λ)=λ2-3.2λ+2.55
p(λ)=λ2-3.2λ+2.55
p(λ)=λ2-3.2λ+2.55
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
λ2-3.2λ+2.55=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.
-b±√b2-4(ac)2a
خطوة 1.7.2
عوّض بقيم a=1 وb=-3.2 وc=2.55 في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة λ.
3.2±√(-3.2)2-4⋅(1⋅2.55)2⋅1
خطوة 1.7.3
بسّط.
خطوة 1.7.3.1
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 1.7.3.1.1
ارفع -3.2 إلى القوة 2.
λ=3.2±√10.24-4⋅1⋅2.552⋅1
خطوة 1.7.3.1.2
اضرب -4⋅1⋅2.55.
خطوة 1.7.3.1.2.1
اضرب -4 في 1.
λ=3.2±√10.24-4⋅2.552⋅1
خطوة 1.7.3.1.2.2
اضرب -4 في 2.55.
λ=3.2±√10.24-10.22⋅1
λ=3.2±√10.24-10.22⋅1
خطوة 1.7.3.1.3
اطرح 10.2 من 10.24.
λ=3.2±√0.042⋅1
خطوة 1.7.3.1.4
أعِد كتابة 0.04 بالصيغة 0.22.
λ=3.2±√0.222⋅1
خطوة 1.7.3.1.5
أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.
λ=3.2±0.22⋅1
λ=3.2±0.22⋅1
خطوة 1.7.3.2
اضرب 2 في 1.
λ=3.2±0.22
خطوة 1.7.3.3
بسّط 3.2±0.22.
λ=16±110
λ=16±110
خطوة 1.7.4
الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.
λ=1710,32
λ=1710,32
λ=1710,32
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1.30.4-0.21.9]-1710[1001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 3.2.1.1
اضرب -1710 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[1.30.4-0.21.9]+[-1710⋅1-1710⋅0-1710⋅0-1710⋅1]
خطوة 3.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 3.2.1.2.1
اضرب -1 في 1.
[1.30.4-0.21.9]+[-1710-1710⋅0-1710⋅0-1710⋅1]
خطوة 3.2.1.2.2
اضرب -1710⋅0.
خطوة 3.2.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
[1.30.4-0.21.9]+[-17100(1710)-1710⋅0-1710⋅1]
خطوة 3.2.1.2.2.2
اضرب 0 في 1710.
[1.30.4-0.21.9]+[-17100-1710⋅0-1710⋅1]
[1.30.4-0.21.9]+[-17100-1710⋅0-1710⋅1]
خطوة 3.2.1.2.3
اضرب -1710⋅0.
خطوة 3.2.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
[1.30.4-0.21.9]+[-171000(1710)-1710⋅1]
خطوة 3.2.1.2.3.2
اضرب 0 في 1710.
[1.30.4-0.21.9]+[-171000-1710⋅1]
[1.30.4-0.21.9]+[-171000-1710⋅1]
خطوة 3.2.1.2.4
اضرب -1 في 1.
[1.30.4-0.21.9]+[-171000-1710]
[1.30.4-0.21.9]+[-171000-1710]
[1.30.4-0.21.9]+[-171000-1710]
خطوة 3.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1.3-17100.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3
Simplify each element.
خطوة 3.2.3.1
لكتابة 1.3 على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في 1010.
[1.3⋅1010-17100.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.2
اجمع 1.3 و1010.
[1.3⋅1010-17100.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.3
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
[1.3⋅10-17100.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.4
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 3.2.3.4.1
اضرب 1.3 في 10.
[13-17100.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.4.2
اطرح 17 من 13.
[-4100.4+0-0.2+01.9-1710]
[-4100.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.5
احذِف العامل المشترك لـ -4 و10.
خطوة 3.2.3.5.1
أخرِج العامل 2 من -4.
[2(-2)100.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.5.2
ألغِ العوامل المشتركة.
خطوة 3.2.3.5.2.1
أخرِج العامل 2 من 10.
[2⋅-22⋅50.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.5.2.2
ألغِ العامل المشترك.
[2⋅-22⋅50.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.5.2.3
أعِد كتابة العبارة.
[-250.4+0-0.2+01.9-1710]
[-250.4+0-0.2+01.9-1710]
[-250.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.6
انقُل السالب أمام الكسر.
[-250.4+0-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.7
أضف 0.4 و0.
[-250.4-0.2+01.9-1710]
خطوة 3.2.3.8
أضف -0.2 و0.
[-250.4-0.21.9-1710]
خطوة 3.2.3.9
لكتابة 1.9 على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في 1010.
[-250.4-0.21.9⋅1010-1710]
خطوة 3.2.3.10
اجمع 1.9 و1010.
[-250.4-0.21.9⋅1010-1710]
خطوة 3.2.3.11
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
[-250.4-0.21.9⋅10-1710]
خطوة 3.2.3.12
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 3.2.3.12.1
اضرب 1.9 في 10.
[-250.4-0.219-1710]
خطوة 3.2.3.12.2
اطرح 17 من 19.
[-250.4-0.2210]
[-250.4-0.2210]
خطوة 3.2.3.13
احذِف العامل المشترك لـ 2 و10.
خطوة 3.2.3.13.1
أخرِج العامل 2 من 2.
[-250.4-0.22(1)10]
خطوة 3.2.3.13.2
ألغِ العوامل المشتركة.
خطوة 3.2.3.13.2.1
أخرِج العامل 2 من 10.
[-250.4-0.22⋅12⋅5]
خطوة 3.2.3.13.2.2
ألغِ العامل المشترك.
[-250.4-0.22⋅12⋅5]
خطوة 3.2.3.13.2.3
أعِد كتابة العبارة.
[-250.4-0.215]
[-250.4-0.215]
[-250.4-0.215]
[-250.4-0.215]
[-250.4-0.215]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=1710.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-250.40-0.2150]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by -52 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -52 to make the entry at 1,1 a 1.
[-52(-25)-52⋅0.4-52⋅0-0.2150]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R1.
[1-10-0.2150]
[1-10-0.2150]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2+0.2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2+0.2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-10-0.2+0.2⋅115+0.2⋅-10+0.2⋅0]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R2.
[1-10000]
[1-10000]
[1-10000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-y=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[yy]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|y∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1.30.4-0.21.9]-32[1001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 4.2.1.1
اضرب -32 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[1.30.4-0.21.9]+[-32⋅1-32⋅0-32⋅0-32⋅1]
خطوة 4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 4.2.1.2.1
اضرب -1 في 1.
[1.30.4-0.21.9]+[-32-32⋅0-32⋅0-32⋅1]
خطوة 4.2.1.2.2
اضرب -32⋅0.
خطوة 4.2.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
[1.30.4-0.21.9]+[-320(32)-32⋅0-32⋅1]
خطوة 4.2.1.2.2.2
اضرب 0 في 32.
[1.30.4-0.21.9]+[-320-32⋅0-32⋅1]
[1.30.4-0.21.9]+[-320-32⋅0-32⋅1]
خطوة 4.2.1.2.3
اضرب -32⋅0.
خطوة 4.2.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
[1.30.4-0.21.9]+[-3200(32)-32⋅1]
خطوة 4.2.1.2.3.2
اضرب 0 في 32.
[1.30.4-0.21.9]+[-3200-32⋅1]
[1.30.4-0.21.9]+[-3200-32⋅1]
خطوة 4.2.1.2.4
اضرب -1 في 1.
[1.30.4-0.21.9]+[-3200-32]
[1.30.4-0.21.9]+[-3200-32]
[1.30.4-0.21.9]+[-3200-32]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1.3-320.4+0-0.2+01.9-32]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
خطوة 4.2.3.1
لكتابة 1.3 على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في 22.
[1.3⋅22-320.4+0-0.2+01.9-32]
خطوة 4.2.3.2
اجمع 1.3 و22.
[1.3⋅22-320.4+0-0.2+01.9-32]
خطوة 4.2.3.3
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
[1.3⋅2-320.4+0-0.2+01.9-32]
خطوة 4.2.3.4
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 4.2.3.4.1
اضرب 1.3 في 2.
[2.6-320.4+0-0.2+01.9-32]
خطوة 4.2.3.4.2
اطرح 3 من 2.6.
[-0.420.4+0-0.2+01.9-32]
[-0.420.4+0-0.2+01.9-32]
خطوة 4.2.3.5
اقسِم -0.4 على 2.
[-0.20.4+0-0.2+01.9-32]
خطوة 4.2.3.6
أضف 0.4 و0.
[-0.20.4-0.2+01.9-32]
خطوة 4.2.3.7
أضف -0.2 و0.
[-0.20.4-0.21.9-32]
خطوة 4.2.3.8
لكتابة 1.9 على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في 22.
[-0.20.4-0.21.9⋅22-32]
خطوة 4.2.3.9
اجمع 1.9 و22.
[-0.20.4-0.21.9⋅22-32]
خطوة 4.2.3.10
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
[-0.20.4-0.21.9⋅2-32]
خطوة 4.2.3.11
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 4.2.3.11.1
اضرب 1.9 في 2.
[-0.20.4-0.23.8-32]
خطوة 4.2.3.11.2
اطرح 3 من 3.8.
[-0.20.4-0.20.82]
[-0.20.4-0.20.82]
خطوة 4.2.3.12
اقسِم 0.8 على 2.
[-0.20.4-0.20.4]
[-0.20.4-0.20.4]
[-0.20.4-0.20.4]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=32.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-0.20.40-0.20.40]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 1-0.2 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 1-0.2 to make the entry at 1,1 a 1.
[-0.2-0.20.4-0.20-0.2-0.20.40]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[1-20-0.20.40]
[1-20-0.20.40]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2+0.2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2+0.2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-20-0.2+0.2⋅10.4+0.2⋅-20+0.2⋅0]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[1-20000]
[1-20000]
[1-20000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-2y=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[2yy]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[21]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{y[21]|y∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[21]}
{[21]}
{[21]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[11],[21]}